도형의 합동과 합동변환 : 평행이동, 대칭이동, 회전이동

 

도형의 모양이나 크기를 변화시키지 않고 그 위치만을 변화시켜 겹쳐질 수 있는 두 도형을 합동이라고 합니다.

두 도형 A, B가 합동일때, A ≡ B 로 나타내고, 합동인 도형은 다음 성질을 만족합니다.

 

• A ≡ B 이면 B ≡ A
• A ≡ B, B ≡ C 이면 A ≡ C

합동변환은 합동인 도형으로 변환하여 이동시키는 것을 말하는데, 평행이동, 대칭이동, 회전이동 등이 있습니다.

 

평행이동

도형 위의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리 만큼 이동시키는 변환을 도형의 평행이동이라 합니다. 예를 들어, 수직선 위의 점 P(a)를 오른쪽으로 2만큼 평행이동 시키면 점 Q(a+2)가 됩니다.

 

 

대칭이동

도형 위의 모든 점을 선대칭, 점대칭인 도형으로 이동시키는 것을 도형의 대칭이동이라 합니다. 특히 대칭이동은 좌표평면 또는 좌표공간에서 이 변환을 도형 A 위의 한 점 P의 좌표와 점 P가 옮겨진 점 P'의 좌표 사이의 관계식이 일차식으로 나타나는 일차변환 중 특수한 경우입니다.

• 선대칭도형: 도형의 한 직선을 기준으로 접었을 때 완전히 겹쳐지는 도형입니다. 이때 그 직선을 대칭축이라고 합니다. 다음은 좌표평면 위의 방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 x축과 y축에 대하여 대칭이동(선대칭)한 도형 예시입니다. 

x축에 대칭

y축에 대칭

 

• 점대칭도형: 도형 위의 한 점을 중심으로 180° 회전시켰을 때, 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형입니다. 이때 그 점을 대칭의 중심이라고 합니다. 좌표평면 위의 방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 원점에 대하여 대칭이동(점대칭)한 도형 예시입니다.

원점에 대하여 대칭

 

회전이동

도형 위의 모든 점을 한 점 O를 중심으로 일정한 각도만큼 회전시켜 이동시키는 것을 도형의 회전이동이라 하고, 그 각을 회전각이라 한다. 이때 회전각이 180° 인 회전이동은 점 O에 대한 점대칭이동과 같고 이 점대칭도형은 회전이동의 특수한 경우로 생각할 수 있습니다.

 

원점에 대하여 회전 이동

---

다음은 고등교육과정입니다.

방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을, 대칭이동했을때 다음과 같이 변환됩니다. 

• x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(x, -y)=0
• y축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(-x, y)=0
• 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(-x, -y)=0
• 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x)=0