면이 5개인 도형? 면이 9개인 도형? 다 외워야 하나요?

 

면이 5개인 도형은 어떤 것이 있을까요?

면이 한개가 아니니 입체도형인가봅니다. 

삼각기둥, 삼각뿔대, 그리고 사각뿔 정도 생각해볼 수 있습니다. 

 

그러면, 면이 9개인 도형은 어떤 것이 있을까요?

칠각기둥, 칠각뿔대, 그리고 팔각뿔입니다. 

 

이걸 다 외워야할까요?

초등교육과정에서 다루는 입체도형은 정다면체 5가지, 각기둥, 각뿔, 그리고 각뿔대 정도입니다. 

다음 내용을 먼저 살펴보고, 이런 질문에 답을 생각하는 과정을 설명해볼까합니다. 

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정다면체의 종류 5가지 

각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 입체도형을 정다면체라고 합니다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체, 이렇게 5개입니다.

 

정다면체 5가지의 면의 개수는 정다면체의 이름이 바로 면의 개수를 나타냅니다. 

정사면체는 이름에서처럼 똑같은 면 4개가 있는 입체도형입니다. 같은 방식으로 정육면체는 이름에서처럼 똑같은 면 6개, 정팔면체는 면 8개, 정십이면체는 면 12개, 정이십면체는 면 20개입니다. 

 

 

[ 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체
면의 모양	정삼각형	정사각형	정삼각형	정오각형	정삼각형
한 꼭지점에 모인 면의 개수	3	3	4	3	5
면의 개수	4	6	8	12	20
꼭지점의 개수	4	8	6	20	12
모서리의 개수	6	12	12	30	30

 

 

각기둥의 면의 개수 > N+2

각기둥의 밑면의 모양과 면의 개수를 살펴볼까요?

각기둥은 밑면 모양만큼의 옆면이 있고, 윗면, 아랫면이 있습니다. 그러므로 삼각기둥의 경우 "옆면 3개+윗면+아랫면" 이렇게 해서 5개의 면을 가지고 있습니다. 일반화하면 N각기둥의 경우 "옆면 N개+윗면+아랫면" 으로 계산하여 "N+2"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

각기둥의 면의 갯수 생각해보기

 

[ 각기둥의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각기둥	사각기둥	오각기둥	육각기둥	N각기둥
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	5	6	7	8	N+2
모서리의 개수	9	12	15	18	3N
꼭지점의 개수	6	8	10	12	2N

 

각뿔의 면의 개수 > N+1

각뿔은 밑면의 각 변을 밑변으로 하고 밑변 밖에 있는 한 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 원래의 밑면으로 둘러싸인 입체 도형입니다. 각뿔의 옆면은 모두 삼각형이고, 밑면 밖에 있는 한 점을 각뿔의 꼭짓점이라 부릅니다. 

각뿔은 밑면 모양의 모서리 개수 만큼의 옆면이 있고, 밑면만 있습니다. 그러므로 삼각뿔의 경우 "옆면 3개+아랫면" 이렇게 해서 4개의 면을 가지고 있습니다. 일반화하면 N각뿔의 경우 "옆면 N개+아랫면" 으로 계산하여 "N+1"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

각뿔의 면의 개수 생각해보기

 

[ 각뿔의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각뿔	사각뿔	오각뿔	육각뿔	N각뿔
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	4	5	6	7	N+1
모서리의 개수	6	8	10	12	2N
꼭지점의 개수	4	5	6	7	N+1

 

 

각뿔대의 면의 개수 > N+2

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 입체도형을 각뿔대라고 하고, 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대라고 합니다. 각뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면, 밑면이 아닌 면을 옆면이라고 부릅니다. 또 두 밑면에 수직인 선분의 길이를 각뿔대의 높이라고 정의합니다. 이때 각뿔대 의 옆면은 마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형이므로 모두 사다리꼴 형태가 됩니다.

 

각뿔대의 면, 모서리, 꼭지점의 개수는 각기둥과 동일합니다. 각뿔대는 각뿔에서 위부분 각뿔을 잘라내고 남은 아래부분이지만, 각기둥에서 위면과 아래면의 크기가 다른 경우로 생각할 수도 있습니다. 각기둥의 옆면의 모양은 직사각형이지만, 각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이 됩니다.

각기둥의 면의 개수를 세는 방식과 동일합니다. 즉 밑면 모양만큼의 옆면 개수가 있고, 윗면과 아랫면이 있으므로 N각뿔의 경우 N+2개의 면을 갖습니다.

 

각기둥과 각뿔의 차이 "옆면 모양을 보세요"

 

[ 각뿔대의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각뿔대	사각뿔대	오각뿔대	육각뿔대	N각뿔대
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	5	6	7	8	N+2
모서리의 개수	9	12	15	18	3N
꼭지점의 개수	6	8	10	12	2N

 

 

생각해보기

면이 5개인 도형은 어떤 것이 있을까요?

>>> 해설

1. 정다면체에 해당하는지 살펴봅니다. 

정다면체는 5가지 밖에 없는데, 그 중 정오면체라는 정다면체는 없습니다. 

 

2. 각기둥이라면 어떤 모양일지 생각해봅니다. 

N각기둥의 면의 개수는 N+2입니다. 

면이 5개라면, 5=N+2로, N은 3입니다. 

즉, 삼각기둥의 면이 5개라는 것을 확인했습니다. 

 

3. 각뿔이라면 어떤 모양일지 생각해봅니다. 

N각뿔의 면의 개수는 N+1입니다.

면이 5개라면, 5=N+1로, N은 4입니다. 

즉, 사각뿔의 면이 5개라는 것을 확인했습니다. 

 

4. 각뿔대라면 어떤 모양일지 생각해봅니다.

각뿔대는 각뿔을 잘라서 만들어지는 입체이지만, 속성은 각기둥과 더 유사합니다.

N각뿔대의 면의 개수는 N+2입니다. 

면이 5개라면, 5=N+2로, N은 3입니다. 

즉, 삼각뿔대의 면이 5개라는 것을 확인했습니다. 

 

이런 순서로 생각해보면, 비슷한 유형의 문제를 해결할 수 있습니다. 

다음은 입체도형 관련 글입니다. 참고하세요. 

 

 

 

평면도형에서 입체도형까지 : 다각형, 각기둥, 각뿔, 각뿔대 feat.꼭지점, 모서리, 면 개수 알아보

 

원, 부채꼴, 원기둥, 원뿔, 구까지 길이, 넓이, 부피 공식 한꺼번에 다 정리~

접으면서 배우는 정다면체 5가지 (전개도 PDF 첨부)