오일러 다면체정리로 정다면체 면, 꼭지점, 모서리 개수 쉽게 외우기

그냥 외운다면?

정다면체의 면, 꼭지점, 모서리 개수는 그냥 외워야합니다. 

이해를 하면, 꼭 외우지 않아도 머리속에 입체의 모양을 떠올리며 계산해 낼 수도 있습니다. 

그래도 정다면체는 아래 5가지 밖에 없으니 외워봅시다. 

• 정사면체
• 정육면체
• 정팔면체
• 정십이면체
• 정이십면체

초등과정에서는 정다면체에 대한 다음 표를 암기하는데, 잘 보시면 규칙이 보이니, 외우기 쉬운 방법을 찾아봅니다. 

면 개수는 이름에서부터 유추할 수 있습니다. 

정사면체이니 4개.

정육면체이니 6개. 나머지는 같은 방식

 

모서리와 꼭지점의 개수는 "정육면체와 정팔면체", "정십이면체와 정이십면체"를 짝지어서 외우면 쉽습니다. 

두 쌍의 모서리 개수는 각각 같고, 면의 개수와 꼭지점의 개수가 크로스로 들어갑니다. 

 

[ 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

 

 

 

조금 더 고급지게 외워볼까요?

오일러 다면체 정리란, 임의의 한 다면체를 구성하는 점과 선, 면이 가지는 관계를 설명한 정리를 말합니다. 1752년에 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 발견하였습니다.

"점의 개수에서 선의 개수를 뺀 값에 면의 개수를 더할 경우에 나오는 값이 일정하다"

다음의 공식으로 표현할 수 있습니다.

v(vertex,점), e(edge, 모서리), f(face, 면) 

v - e + f = 2

 

정사면체의 경우

v = 4, e = 6, f = 4

v - e + f = 4 - 6 + 4 = 2

 

정십이면체의 경우

v = 20, e = 30, f = 12

v - e + f = 20 - 30 + 12 = 2

 

 

혹시, 정이십면체의 모서리개수가 생각나지 않는다면?

오일러 정다면체 정리를 이용해 계산해보겠습니다.

 

정이십면체이므로 f = 20

꼭지점의 개수는 정십이면체와 짝을 지어 외우면 정이십면체의 면개수랑 같으므로 v = 12

이 두가지는 잊어버리지 않겠죠?

 

v = 12,  f = 20을 오일러공식에 넣고 계산해봅니다.

v - e + f = 12 - e + 20 = 2

32 - e = 2

e = 30

 

계산 결과로 모서리 개수는 20임을 알 수 있습니다. 

 

 

다른 입체도형에도  적용해보면?

오일러 정다면체 정리는 부풀렸을때 공모양이 되는 입체도형에는 모두 적용가능합니다. 

 

육각기둥의 경우

v = 12, e = 18, f = 8 입니다. 

v - e + f = 12 - 18 + 8 = 2

육각기둥의 경우에도 v - e + f =  2 입니다. 

 

오각뿔의 경우

v = 6, e = 10, f = 6 입니다. 

v - e + f = 6 - 10 + 6 = 2

오각뿔의 경우에도 v - e + f =  2 입니다. 

 

 

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정다면체 글은 전에 많이 써서 자세한 설명은 링크로 대체합니다. https://lucia.tistory.com/124

정다면체는 왜 5개만 있나요?

 

정다면체 접어보며 이해하는 전개도 파일도 이전글 링크로 대체합니다. https://lucia.tistory.com/11

접으면서 배우는 정다면체 5가지 (전개도 PDF 첨부)