다각형 내각의 합, 퍼즐 체험으로 이해하기

중등 수학에서 다각형의 내각의 합을 구하고, 또 정다각형일 경우, 한 내각의 크기를 구하는 내용을 다룹니다. 원리에 대한 이해 없이, 외우려고 하면 어려워지는 기하파트입니다. 초등 4학년~5학년이 직접 체험해보기에 가장 적합한 학년입니다. 

 

체험 순서

1. 삼각형 내각의 합을 알아본다. 
2. 사각형 내각의 합을 알아본다. 
3. 삼각형과 사각형의 관계를 추론해본다. 
4. 육각형의 내각의 합을 계산해 보고, 맞는지 확인해본다. 
5. 정육각형의 내각의 크기를 계산해본다. 

 

준비물

• A4 종이, 가위, 칼, 자, 연필

 

삼각형 내각의 합

A4 종이를 잘라서 삼각형 모양을 여러개 만듭니다. 4~6개 정도면 되고, 직각삼각형, 정삼각형, 이등변삼각형, 또 둔각, 예각이 골고루 나오도록 하면 좋습니다. 

 

잘라진 삼각형 중에서 비슷한 모양은 제외하고, 다음 사진을 참고하여 3개를 골라줍니다. 잘랐을때 서로 다른 삼각형의 내각이 섞이면 찾기 힘들기 때문에 각각의 삼각형의 3개의 내각에 다른 기호를 적어 표시해줍니다. 사진의 오른쪽 삼각형과 같이 3개의 내각을 모아 붙여볼 예정이므로, 가위를 사용하여 잘라줍니다. 

 

3개의 삼각형 내각을 모두 분할한 사진입니다. 이제 같은 삼각형의 내각끼리 모아봅니다. 

 

삼각형의 모양이 다르더라도, 삼각형의 내각 3개를 모으면 항사아 180도가 된다는 것을 확인합니다. 

 

 

 

사각형 내각의 합

앞 과정에서 삼각형 내각의 합을 알아본 것처럼, A4 종이를 잘라 사각형을 만들어줍니다. 각각의 사각형 내각에 다른 기호를 표시해주고, 가위로 잘라줍니다. 

 

사각형의 4개의 내각의 합은 사다리꼴, 마름모, 정사각형, 직사각형 모두 360도가 됩니다. 

 

 

삼각형과 사각형의 관계

이젠, 삼각형과 사각형에서 내각의 합을 구했던 과정을 다시 생각해봅니다. 모든 사각형은 아래 사진과 같이 2개의 삼각형으로 분할할 수 있습니다. 

 

사각형은 2개의 삼각형으로 분할할 수 있고, 사각형에서 4개의 내각은 그 사각형을 이루는 2개의 삼각형 내각의 합과 같습니다. 즉, 삼각형 내각의 합은 180도이고, 사각형은 삼각형 2개로 분할되기 때문에 180도의 2배인 360도가 됩니다. 

 

직접 잘라서 확인해 보도록 합니다. 다음 사진과 같이 사각형을 2개의 삼각형으로 나누고, 각각의 삼각형의 내각에 표시를 한 후, 내각을 조각으로 자릅니다. 

 

잘라진 6개의 조각을 모아보면, 1번 삼각형의 3개 내각이 180도, 2번 삼각형의 3개 내각이 180도를 이루어, 전체 사각형의 내각 합이 360도가 되는 것을 확인할 수 있습니다. 

 

 

 

육각형 내각의 합은 몇도일까?

자, 그럼 같은 방식으로 생각해보면 오각형, 육각형, 팔각형, 십이각형의 내각 합도 알 수 있습니다. 다음과 같은 육각형의 내각 합을 생각해봅시다. 

 

육각형은 다음 사진과 같이 4개의 삼각형으로 나누어 생각할 수 있습니다. 삼각형 1개의 내각 합은 180도 이므로, 육각형의 내각 합은 180도의 4배인 720도가 됩니다. 

이를 일반화하여 n각형의 내각 합을 구하는 공식은 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 

 

정육각형 한 내각의 크기

변의 길이가 각각 다른 육각형을 자르면서 내각의 합에 대해 생각해봤습니다. 이 때는 변의 길이도 각각 다르고, 6개의 내각의 크기도 다 다릅니다. 하지만, 아래 사진의 오른쪽처럼 정육각형이라면, 각 변의 길이와 각 내각의 크기는 모두 동일합니다. 

그러므로, 정육각형의 한 내각의 크기는 육각형의 내각의 합인 720도를 6으로 나눈 값이 됩니다. 

정육각형이 아닌, 정다각형의 한 내각의 크기도 같은 방식으로 생각해볼 수 있습니다. n각형의 내각의 합이 n각형 안에 나눠볼 수 있는 삼각형의 수인 n-2에 삼각형 내각의 합인 180도를 곱하는 것이니, 정다각형일 경우 한 내각의 크기는 그 값을 n으로 나눠주면 됩니다. 

 

 

 

 

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다각형 외각의 합, 체험으로 이해하기 2탄   https://lucia.tistory.com/47?category=955380 

다각형 외각의 합, 체험으로 이해하기 2탄