원, 부채꼴, 원기둥, 원뿔, 구까지 길이, 넓이, 부피 공식 한꺼번에 다 정리~

다각형, 다면체와 비슷한듯 약간 다른 원, 원기둥, 원뿔, 구에 대한 공식을 정리했습니다. 

기둥의 부피는 평면도형 넓이에 높이값이 곱해지면 되고,

뿔의 부피는 기둥의 1/3, 구의 부피는 원기둥의 2/3입니다. 

다 외우려하지말고 차근히 생각할 수 있게 해주세요. 

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반지름 r 인 원

동그란 형태의 시작 원입니다. 원에서는 원의 한바퀴 둘레의 길이인 원주, 그리고 원의 넓이를 구하는 공식을 배우게 됩니다. 

 

원주는 지름에 원주율을 곱하게 되는데, 이 부분은 지름과 원주의 길이를 측정하면 일정한 비율을 유지한다는 데에서 나온 공식입니다. 원의 넓이는 이 원주를 활용합니다. 원을 반으로 나누어 아래와 같이 더 잘게 쪼개보면, 사각형 모양으로 맞춰볼 수 있습니다. 조각을 작게 나눌수로 직사각형에 가까워집니다. 

원 부분 내용을 더 상세히 보고 싶으시면 이전 글을 참고해주세요. (체험자료 PDF 첨부됨)

 

원의 넓이 구하는 공식 체험으로 쉽게 이해해봐요

 

 

반지름 r , 중심각 a인 부채꼴

부채꼴 호의 길이, 부채꼴의 넓이는 앞의 원주와 원의 넓이에 중심각값만 적용하여 생각하면 됩니다. 원이 360도이므로, 부채꼴은 360도 중 중심각만큼의 비율을 곱해주면 됩니다. 

 

 

반지름 r, 높이 h인 원기둥

원기둥의 부피를 구하는 방법은 다른 각기둥 부피를 구하는 방식과 동일합니다. 기둥은 바닥면 모양이 위 방향으로 돌출된 것으로 얇은 바닥면모양을 쌓아 올린 것이므로 바닥면의 넓이에 높이값을 곱해주면 됩니다. 

 

원기둥의 겉넓이는 전개도가 어떤 모양으로 생겼는지 알아야합니다. 아래와 같이 위, 아래에 같은 크기의 원이 있고, 옆면을 펼치면 직사각형 모양이 됩니다. 이 직사각형의 가로 길이는 바닥면 원의 원주의 길이와 같습니다. 

 

 

 

반지름 r, 높이 h인 원뿔

 

원뿔의 부피를 구하는 방법도 다른 각뿔의 부피를 구하는 방식과 동일합니다. 각뿔의 부피는 각기둥 부피의 1/3입니다. 그러므로 앞의 원기둥의 부피에 1/3을 곱해주면 됩니다. 

 

 

 

원뿔의 겉넓이는 앞서 다운 원의 넓이, 부채꼴의 넓이를 같이 생각하면 됩니다. 아래와 같이 원뿔의 전개도를 그려 생각합니다. 

 

 

각뿔의 부피가 각기둥 부피의 1/3임을 확인하는 체험활동 자료는 이전글 참고하세요. PDF 파일 첨부되어있습니다.

 

접어보자! 뿔의 부피는 기둥의 1/3이라는데. 진짜?

 

 

반지름 r인 구의 겉넓이와 부피

 

구의 겉넓이와 부피는 고등에서 적분으로 증명하는 과정 이전에는 개념설명으로 진행합니다. 반지름의 길이가 r인 구의 겉면을 끈으로 감은 후 그 끈을 평면 위에 감아 원을 만들면 반지름의 길이가 2r가 됩니다. 즉, 반지름의 길이가 r인 구의 겉넓이는 반지름의 길이가 2r인 원의 넓이와 같으므로 구의 겉넓이를 구하는 공식은 다음과 같습니다. 

 

 

 

반지름의 길이가 r인 구의 부피를 V라고 하면 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥 모양의 그릇에 물을 가득 채우고 구를 물 속에 완전히 잠기도록 넣었다가 뺄 때, 구의 부피는 넘쳐 흐른 물의 부피와 같습니다. 그래서 구의 부피는 원기둥 부피의 2/3로 계산합니다.