여러가지 사각기둥, 부피계산 공식이 다른가요?

평면도형이 입체가 되면서 부피 개념을 배웁니다. 

공식을 너무 의식하면 수학이 더 어렵게 느껴지지 않을까요?

 

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다음은 여러가지 사각형의 예시입니다. 

그리고, 그 사각형을 밑면으로 하는 사각기둥을 만들어봤습니다. 

 

 

 

사각형의 넓이를 어떻게 구하는지 아이에게 질문해보세요.

아마도, "가로 곱하기 세로", "밑변 곱하기 높이" 등과 같이 큰 개념은 다들 알고 있습니다. 

 

만약, 아이가 사다리꼴 사각기둥의 부피구하는 공식을 궁금해 한다면, 사각기둥의 부피가 아니라 사다리꼴의 넓이를 구하는 부분에서 막혔을 가능성을 생각해봐야합니다. 

 

각기둥의 부피를 구하는 공식은 간단합니다. 삼각기둥, 사각기둥, 그리고 원기둥까지 기본 공식은 다음과 같습니다. 

 

각기둥의 부피 V = 밑면의 넓이 * 각기둥의 높이

 

밑면이 어떤 모양이든, (삼각형, 사각형, 오각형, 원 등) 밑면의 넓이까지 구했다면, 부피를 구한다는 것은 높이만 더 곱해주면 끝입니다. 

그럼, 밑면의 모양을 여러가지 사각형으로 달리하면서 살펴보겠습니다. 

 

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밑면이 직사각형인 사각기둥의 부피

다음은 직사각형과 정사각형입니다. 이 두 사각형은 내각이 90도로 직각을 이루고 있기 때문에 넓이 계산이 쉽습니다. 

 

직사각형의 가로가 a, 세로가 b라면, 넓이는 가로와 세로의 곱인 a*b, 즉 ab입니다. 

이 직사각형이 높이 D를 갖는 사각기둥이 되었다면, 이 사각기둥의 부피는 앞에서 계산한 밑면 넓이 ab에 D를 곱해주면 됩니다. 

 

정사각형의 경우, 가로의 길이와 세로의 길이가 같다는 점을 제외하고는 직사각형과 동일합니다. b 대신 a가 들어가면 됩니다. 

 

 

 

 

[예제] 밑면의 가로 길이가 5cm, 세로 길이가 3cm, 그리고 높이가 5cm 인 각기둥의 부피를 구하시오. 

>>> 투시도에서 표시한 밑면의 넓이를 먼저 구해줍니다. 

밑면의 넓이는 "가로*세로"이므로,

S = (5*3)

 

각기둥의 부피는 "밑면넓이*기둥의 높이"이므로, 

V= (5*3)*5

  = 45

 

 

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밑면이 평행사변형인 사각기둥의 부피

밑면의 모양이 평행사변형이어도 이 밑면모양으로 만들어진 사각기둥의 부피 구하는 공식은 [밑면의 넓이*각기둥의 높이]입니다. 다면, 밑면의 넓이를 구하는 방식이 앞의 직사각형보다 복잡할 수 있습니다. 

 

평행사변형의 밑면의 넓이를 구하는 방법은 어떤 값이 주어졌느냐에 따라 난이도가 달라질 수 있습니다.

아래의 평행사변형에서처럼, 밑변 a와 높이 h가 주어졌을때 가장 쉽습니다. 평행사변형의 넓이는 직각삼각형의 합동을 적용하여 아래 표시한 두 직각삼각형이 합동이므로  밑변 a와 높이 h인 직각사각형의 넓이와 같습니다. 

 

높이 h 대신, 기울어진 변 b와 끼인각 x를 알고 있다면 삼각비를 이용해야합니다. 하지만, 이 경우 초중등범위에서는 30도, 45도, 60도 등 특정값만 활용합니다. 

 

       

 

[예제] 밑면이 아래 그림과 같은 평행사변형일때, 이 밑면을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오.

>>> 평행사변형의 가로길이와 높이가 주어졌을때 넓이는, 

S = 5*7 =35

이 값에 각기둥의 높이만 곱해주면 되므로, 

V = 35*10 = 350

 

 

[예제] 밑면이 한 길이가 9, 다른 한변의 길이가 8, 그리고 끼인각의 크기가 30도인 평행사변형일때, 이 평행사변형을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오.

>>> 평행사변형의  두 변의 길이와 끼인 각의 크기가 주어졌을때 넓이를 구하기 위해서는, 높이를 먼저 계산해야합니다. 

sin30 = h/8

h= 8*sin30

  = 8*0.5

  = 4

높이값은 4이므로, 

S = 9*4 =36

이 값에 각기둥의 높이만 곱해주면 되므로, 

V = 36*10 = 360

 

 

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밑면이 사다리꼴인 사각기둥의 부피

사다리꼴은 한쌍의 대변이 평행한 사각형입니다. 삼각형이 아닌데 1/2을 곱해주는 사다리꼴의 넓이는 사각형의 넓이 중에서 아이들이 제일 어려워하는 부분입니다. 

 

다음 2가지 사다리꼴의 예시에서처럼 사다리꼴의 넓이를 구하기 위해서는 합동인 가상의 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여놓고 생각합니다. 사다리꼴을 하나 더 만들어 붙여보면 평행사변형이 되는 것을 활용합니다. 

 

평행사변형의 넓이 구하는 방법은 앞에서 살펴본 것처럼 밑변과 높이의 곱이므로, 사다리꼴의 평행한 두변의 길이 a, b를 합한 것이 평행사변형의 밑변이 되게 됩니다. 다만, 사다리꼴을 2개로 놓고 계산했으므로, 1/2을 곱해주는 것입니다. 

 

 

 

 

[예제] 다음과 같은 사다리꼴을 밑면으로 하고, 이 밑면을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오.

>>> 사다리꼴의 넓이를 먼저 구해야합니다. 사다리꼴의 넓이를 구하는데 필요한 수치가 다 주어진 상태입니다. 

S = 1/2 *(3+7)*5

   = 25

V = S*각기둥의 높이

   = 25*10

   = 250

 

 

[예제] 다음과 같은 사다리꼴을 밑면으로 하고, 이 밑면을 높이 10의 각기둥으로 만들었을때의 부피를 구하시오.

>>> 사다리꼴의 넓이를 먼저 구해야합니다. 사다리꼴의 넓이를 구하는데 필요한  사다리꼴의 높이가 없습니다. 대신 한변과 각도가 주어졌으므로, 이로부터 사다리꼴의 높이를 계산합니다. 

sin60 = h/6

h = 6*sin60

   = 6*√3/2

   = 3√3

 

S = 1/2 *(3+7)*3√3

   = 15√3

V = S*각기둥의 높이

   = 15√3*10

   = 150√3

 

 

[추가] 설명이 필요할 수도 있을 것 같아 영상도 만들었습니다. 참고하세요.    https://youtu.be/lilM41vChcA

 

[추가] 문제를 풀기 어려워해요. 면의 개수 주어졌을때 입체도형 찾기!

면이 5개인 도형? 면이 9개인 도형? 다 외워야 하나요?

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