원의 넓이 구하는 공식 체험으로 쉽게 이해해봐요

 

 

사각형, 삼각형과는 달리 원으로 시작하는 원기둥, 원뿔, 원뿔대 은 다 어렵게 생각합니다. 

원주률이 들어가있는 원의 넓이까지만 이해하면,

이후 원기둥, 원뿔, 원뿔대는 다른 다면체와 같은 방식입니다. 

자, 그럼 원의 넓이에 대해 알아볼까요?

 

---

 

원주율

원을 이야기할때 빠질 수 없는 원주율부터 시작하겠습니다. 

원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레 비율을 나타내는 수학 상수입니다. 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽습니다. 원주율은 무한 소수로 3.141592.....값으로 알려져 있고, 수학학원에서느 3월 14일에 파이데이라고 행사도 많이 하곤 합니다. 

 

주변에 있는 사물 중 원 모양을 골라 직접 재보고 원주율 값과 비교해보겠습니다. 

원모양 사물, 자, 줄자, 줄자 대신 실이나 끈을 사용하고 나중에 끈 길이를 자로 재도 됩니다. 

저는 텀블러와 캡슐캔을 준비했습니다. 

 

 

바닥면에서 원의 지름을 측정합니다. 

원의 중심점이 표시되어 있지 않아서, 정확할 수는 없지만 가장 긴 길이가 나오는 것이 원의 중심을 지나는 지름의 길이일 것입니다. 

 

 

저는 끈을 사용해서 원의 둘레를 감아준 뒤, 한바퀴 감아지는 지점을 표시하고 끈의 길이를 재줬습니다. 

텀블러에 대해서도 마찬가지로 길이를 측정해봅니다. 

 

 

측정한 값을 토대로 원의 둘레를 지름으로 나눠보니, 다음과 같은 값이 계산되었습니다. 

원의 둘레는 이와 같이 원의 지름에 대략 3배라는 것을 알게 되었으며, 이 값을 원주율, 파이라고 부르는 것으로 이해하면 됩니다. 

	지름	원의둘레	원의둘레/지름	원주율과의 차이
캡슐캔	118mm	370	3.1355	-0.0060
텀블러	73mm	234mm	3.2054	+0.0638

 

 

원주, 원의 둘레

앞의 과정에서 알게된 것을 활용하여 원의 둘레 길이를 구하는 공식은 다음과 같습니다. 

 

 

 

원의 넓이는 어떻게 구해야할까?

원의 넓이는 다음과 같이 원을 잘라 붙였다 생각하면 됩니다. 

다음은 원을 15도 간격으로 잘라 24조각으로 만든 예시입니다. 

 

 

 

 

좌우 반으로 나눠 생각하려 합니다. 

원의 둘레는 2πr이므로, 다음의 빨간 선은 원의 절반에 해당하는 둘레가 되므로 πr이 됩니다. 

원을 자른 조각이 삼각형이 아니고, 약간 둥글게 굽은 형태이기 때문에 정확히 πr은 아닙니다. 

 

 

하지만, 점점 더 좁은 간격으로 원을 잘라 세운다면, 가로의 길이가 πr이고, 높이가 r인 직사각형 모양이 됩니다. 

 

 

 

이와 같이 생각해보면, 원의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

 

 

 

체험 활동

다음 그림의 PDF 파일 첨부합니다. 잘라 끼워 맞춰보는 작업을 직접 해볼 수 있게 해주셔도 도움될 것 같습니다. 

원의넓이공식생각하기-체험지.pdf

0.51MB

 

 

 

끝까지 자르지말고, 원의 바깥쪽은 좀 남겨두고 자르게 해주면, 아래처러 펼치기 수월합니다. 

실수로 잘려도 펼쳐서 사각형 모양이 만들어지는 것만 확인시켜주면 되니 너무 자르는데 스트레스 받지 않아도 됩니다. 

그럼, 잘 활용하시고 아이가 원의 넓이 어려워하지 않았으면 좋겠네요^^

 

 

 

 

 

[추가] 동그랗게 생긴건 다 끝내봐요.

원, 부채꼴, 원기둥, 원뿔, 구까지 길이, 넓이, 부피 공식 다 정리

 

[추가] 원이 해결되었으면 원기둥과 원뿔까지 고고~!   

[수학] 원기둥과 원뿔의 부피 구하는 공식이 궁금해요