삼각비를 공부하기 전, 삼각법을 알아봐요

삼각법의 역사

삼각법(trigonometry)은 그리스어의 삼각형(trigon)과 측정(metria)이라는 두 단어의 합성어입니다. 삼각형의 6요소인 3변의 길이 및 3각의 크기 가운데서 '3변의 길이', '1변의 길이와 2각의 크기', '‘2변의 길이와 그 끼인각의 크기' 중 어느 것이 정해지면 그 삼각형이 결정됩니다.

 

이 원리를 이용한 삼각법은 측량과 항해, 천체 관측 등에 활용되고 있습니다. 삼각법 연구의 역사는 고대 이집트 시대로 거슬러 올라갑니다. B.C. 1700년경 이집트의 수학책인 [린드 파피루스]에는 피라미드 밑면의 이면각에 대한 코탄젠트의 값을 포함하는 문제가 실려 있고, 바빌로니아 시대의 점토판 [플림프톤 322 (Plimpton 322)]에는 쐐기 모양의 문자로 된 시컨트(sec, 삼각함수의 cos코사인의 역수)의 표가 실려 있다고 합니다.

 

출처 : EBS다큐 프라임, 피타고라스 정리의 비밀 1부

 

출처 :EBS다큐 프라임, 피타고라스 정리의 비밀 1부

 

플림프톤 322(Plimpton 322), 이미지출처 : 플림프톤322/위키피디아

 

그리스의 삼각법

삼각법이 본격적으로 발달한 시기는 고대 그리스입니다. 고대 천문학자들은 천체를 관측하면서 원의 중심각에 대한 현의 길이를 계산하였고, B.C. 160년 무렵 구면삼각법의 창시자인 고대 그리스의 천문학자 히파르코스(Hipparchos)는 각에 대응하는 현의 길이를 나타낸 표, 즉 현표를  최초로 만들었다고 알려져 있습니다.

 

현표를 만드는 내용을 담은 12권의 논문으로 ‘삼각법의 아버지’로 불립니다. 아쉽게도 지금은 히파르코스의 현표를 확인할 수 없지만, 같은 분야의 연구를 한 프톨레마이오스의 저서 [알마게스트]에 그의 업적이 저술되어 있다고 합니다. 

 

히파르코스는 천문학을 연구하면서 지구와 달 사이의 거리를 계산하였고, 이 과정에서 구면 위의 두 점 사이의 거리와 각의 크기를 측정할 필요를 느끼게 되었습니다. 그는 삼각법을 체계적으로 연구하여 현표를 만들고, 이것이 곧 사인의 값과 원의 현의 길이에 대한 삼각비의 표의 시초가 되었다고 알려져 있습니다. 그는 서로 닮음인 두 직각삼각형에서 대응하는 두 변의 길이의 비가 같음을 알고 이미 알고 있는 값에서 그 반각의 사인의 값을 구하여 사인에 대한 삼각비의 표를 만들게 되었습니다.

 

그 후 그리스의 수학자 프톨레마이오스(Ptolemaeos)가 히파르코스의 영향을 받아 그리스의 천문학을 집대성하여 [알마게스트(Almagest)]를 저술하였습니다. 이 책에는 0.5도부터 180도까지 0.5도 간격으로 원의 중심각에 대응하는 현의 길이를 표로 나타내었는데 이것이 오늘날의 사인의 표에 해당합니다.

 

 

삼각법의 기호

우리가 현재 사용하고 있는 sin, cos, tan와 같은 삼각비의 기호는 많은 변화를 거쳐 현재에 이르렀습니다. 이탈리아의 수학자 피보나치(Fibonacci)는 그의 저서 [실용 기하학]에서 사인을 sinus rectus arcus라는 긴 이름으로 썼고, 그 후 독일의 수학자 레기오몬 타누스도 그의 저서 [삼각형의 모든 것]이란 책에서 sinus rectus arcus라고 썼습니다.

 

또 레티쿠스가 1542년에 출판한 책에서는 삼각비의 표를 sinus tocus로 썼습니다. 그러나 같은 레티쿠스의 책이지만

1539년과 1542년에 출판된 [지구 운동 해설서]에는 perpendiculum이라고 썼습니다.

 

‘sin’ 기호는 1624년 영국의 수학자 건터(Gunter, E., 1581~1626)가 처음 사용했다고 합니다. sine은 꼬불꼬불한 길의 뜻을 가진 라틴어 sinus에서 유래한 것이라고 알려져 있으며, ‘cos’ 기호는 complementary sinus의 줄임말로서 ‘여각의 사인’을 뜻합니다. 1620년 건터가 ‘co.sinus’라고 썼고, 1658년 뉴턴이 ‘cosinus’로 쓰다가 1729년에 오일러가 ‘cos’라는 기호를 사용하였다고 합니다.

 

‘tan’ 기호는 tangent의 줄임말로서 ‘접한다’라는 뜻이 있습니다. 1583년 덴마크의 수학자 핑케(Fincke, T., 1561~

1656)가 ‘tan.’으로 쓰다가 영국의 수학자 오트레드(Oughtred, W., 1574~1660)가 ‘tan’이라는 기호를 사용하였다고 합니다. 이러한 기호는 18세기에 들어와 오일러가 사용함에 따라 널리 활용되게 되었습니다.

 

 

 

삼각비를 활용한 수학체험 활동

[삼각비] 클리노미터(경사계) 만들고, 사물 높이 재기    https://lucia.tistory.com/72

[삼각비] 클리노미터(경사계) 만들고, 사물 높이 재기

 

삼각비 표가 필요하시면, 다음 글도 확인해주세요. 

삼각비 표(0도~180도)를 만들어봤어요.  https://lucia.tistory.com/51

삼각비 표(0도~180도)를 만들어봤어요.

 

 

관련 수학자 찾아보기

히파르코스(Hipparchos, B.C. 190?~B.C. 125?)

"고대 그리스의 천문학자로 천체 운동에 대한 계산을 기초로 삼각법을 고안"

히파르코스는 천문학을 연구하면서 두 점 사이의 거리와 각의 크기를 측정할 필요를 느껴 삼각법을 연구한 것으로 알려져 있습니다. 호의 길이를 알 때, 그에 대응하는 현의 길이를 표로 만들었는데, 이것은 최초의 삼각비의 표라고 할 수 있습니다. 

 

 

프톨레마이오스(Ptolemaeos, 85?~165?)

"그리스의 천문학자이자 수학자로 [알마게스트(Almagest)]에 사인의 표와 같은 수표를 수록"
프톨레마이오스는 127~145년경 이집트의 알렉산드리아에서 천체를 관측하면서 달의 운동이 비등속 운동임을 발견하였습니다. 그는 천체가 비교적 간단한 기하학적 형태로 움직인다고 가정하고 히파르코스의 사인의 표를 이용하여 해, 달, 행성의 위치를 계산했으며, 그에 따른 일식, 월식 현상을 예보하는 방법을 제안하였습니다.

 

 

 

오일러(Euler, L., 1707~1783)

"오늘날 사용하는 삼각비에 대한 여러 가지 공식을 완성"
오일러는 근대 수학 발전에 큰 공헌을 한 수학자로 오늘날 사용하는 많은 수학 기호와 용어를 만들었습니다. 삼각함수를 나타내는 약어 sin, cos, tan과 자연로그의 밑을 나타내는 상수 e도 오일러가 고안한 것입니다. 또 그는 미적분학을 발전
시키고, 대수학, 정수론, 기하학 등 수학의 다방면에서 걸쳐 큰 업적을 남겼습니다.