활동으로 배우는 기하 : 교각과 맞꼭지각

도형을 구성하는 기본 요소인 점, 선, 면과 이들 사이의 관계는 초등과정부터 중등, 고등까지 계속 공부하게 되는 내용입니다. 처음 시작할때 재미있게 이해하고, 또 바른 개념을 갖도록 해주면 좋습니다.

점, 선, 면에서 시작하여 직선, 반직선, 선분의 뜻과 표현 방법, 그리고 각에 관련된 용어의 뜻과 표현 방법을 알아두도록 합니다.

* 교각과 맞꼭지각 내용은 중등1학년 교육과정에서 다룹니다.  

 

 

 

각은 기호로 어떻게 나타낼까?

한 점 O에서 시작하는 두 반직선OA, OB로 이루어진 도형을 각 AOB라 하고, 이것을 기호로
∠AOB 또는 ∠BOA
와 같이 나타냅니다. 또 간단히 ∠O 또는 ∠a 로 표시하기도 합니다.

∠AOB에서 점 O를 각의 꼭짓점, 두 반직선 OA, OB를 각의 변이라 하고 꼭짓점 O를 중심으로
변 OB가 변 OA까지 회전한 양을 ∠AOB의 크기라고 한다.

 

반직선 OA와 반직선 OB가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 크기가 다른 두 각을 생각할 수 있습니다. 그러나 특별한 언급이 없는 한, ∠AOB는 보통 크기가 작은 쪽의 각을 말합니다. 다음과 같은 경우, ∠AOB는 32도입니다. 

교각과 맞꼭지각

두 직선이 한 점에서 만나면, 4개의 각이 생깁니다. 이 때 생기는 각 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d 를 두 직선의 교각이라고 합니다. 이 교각 중에서 ∠a 와 ∠c,  ∠b 와 ∠d 와 같이 서로 마주 보는 각을 맞꼭지각이라고 합니다.
이때 위에서 맞꼭지각은 서로 포개어지므로 그 크기는 서로 같음을 알 수 있습니다.

 

 

[ 활동 1 ] 색종이를 접어 맞꼭지각을 찾아봐요

목표

두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 각을 오리고, 서로 포개어보는 활동으로 맞꼭지각의 성질을 알게 합니다.

 

활동내용 요약

활동에서 만들어진 4개의 각을 직접 포개어 보면서 크기가 같은 각이 있는지 확인해 봅다.

마주보는 위치에 같은 색의 스티커, 혹은 모양으로 표시를 해두면 맞꼭지각의 크기가 같음을 비교하기 좋습니다. 

 

준비물

색종이, 펜, 가위, 자, 각도기, 스티커 

 

1. 준비물 챙기기

활동에 필요한 준비물입니다. 스티커가 없으면, 색연필이나 다른 필기구를 사용하여 도형을 그려넣어도 됩니다. 

 

2. 두 개의 선분 긋기

색종이 위에 자를 사용하여 임의의 선분을 2개 그려줍니다. 색종이 안에서 교점이 생기도록 교차하게 그려줍니다. 

 

3. 스티커 혹은 펜으로 표시

마주보는 각끼리 같은 색, 혹은 모양의 스티커를 붙여 표시해줍니다. 

스티거 대신 펜으로 표시를 해도 됩니다. 

 

4. 선분을 따라 오리기

4개의 각을 비교 할 수 있도록 가위로 선분을 따라 오려줍니다. 

 

5. 각 쌍의 각의 크기 비교

같은 색의 스티커를 붙인 조각을 찾아 겹쳐보며 마주보는 쌍의 각의 크기가 동일함을 확인합니다. 

 

 

[ 활동 2 ] 두 쌍의 맞꼭지각이 모두 90도가 되게 접어봐요

색종이를 접어 두 쌍의 맞꼭지각이 모두 90도가 되게 접는 방법 중 정사각형 4개가 나오게 제일 쉽습니다. 다음 사진과 같이 기본 종이접기를 할때 접는 방식대로 이웃한 두 꼭지점이 겹쳐지게 접어봅니다. 다시 펼치고 반대쪽으로도 접어줍니다. 

 

이렇게 접어주면, 정사각형의 색종이가 작은 정사각형 4개로 분할되고, 색종이의 중심점을 기준으로 마주보는 맞꼭지각이 두 쌍 생깁니다.  정사각형의 한 내각의 크기가 90도임을 알고 있는 아이라면 한 내각이 직각이고, 마주보는 맞꼭지각의 크기는 같다는 설명으로 두 쌍의 맞꼭지각이 모두 90도가 됨을 알려줍니다. 

 

1. 임의의 선분이 만들어지게 접기

이제 위의 활동을 임의의 방향으로 접은 선을 기준으로 진행해봅니다. 위에서는 각 꼭지점이 맞닿게 접었기 때문에 직각을 만드는 것이 쉬웠습니다. 

 

2. 선분의 끝점이 맞닿게 접기

임의의 선분을 기준으로 맞꼭지각을 직각으로 만들기 위해 먼저 접어준 선분의 끝점이 서로 맞닿게 위치시키고 접어줍니다. 이 방향으로 접어주면, 먼저 접어진 선분의 수직이등분선이 만들어집니다. 

 

3. 각의 크기 확인하기

수직이등분선의 개념을 익히기 전이라면 각도기로 확인시켜줍니다. 두 쌍의 맞꼭지각, 즉 4개의 각이 모두 직각임을 알 수 있습니다. 

 

 

[ 더 생각해보기 ] 

두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 두 쌍입니다. 그렇다면 서로 다른 n개의 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 몇 쌍일까요?

 

세 직선이 만나는 다음과 같은 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 맞꼭지각은 다음의 6쌍이 됩니다. 

∠AOF와 ∠BOE     ∠AOC와 ∠BOD     ∠COE와 ∠DOF

∠AOE와 ∠BOF     ∠COF와 ∠DOE     ∠AOD와 ∠BOC

직선의 갯수를 늘이며 생각해보도록 하고, 서로 다른 n개의 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각은 n(n-1)쌍임을 이해할 수 있도록 도와주세요.

 

 

동위각과 엇각에 대한 내용은 다음 글을 참고하세요.

활동으로 배우는 기하 : 동위각과 엇각    https://lucia.tistory.com/76

활동으로 배우는 기하 : 동위각과 엇각