각기둥과 각뿔, 각뿔대? 이게 다 뭐지

각기둥과 각뿔은 초등학교에서 다룹니다. 중등에서는 초등과정에 더해 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체에 대해 더 알아보게 됩니다. 다만, 중등과정에서는 빗각기둥, 빗각뿔을 다루지 않으므로 각기둥은 직각기둥, 각뿔은 직각뿔만을 생각하면 됩니다.

 

기둥과 각뿔, 각뿔대는 입체도형을 밑면과 옆면의 모양에 따라에 따라 분류한 것이고, 사면체,육면체, 팔면체 등은 입체도형을 면의 개수에 따라 분류한 것입니다. 그렇기 때문에 하나의 입체도형을 두고 다른 이름으로 부를 수도 있습니다. 예를 들어 삼각뿔대의 경우 사면체이기도 합니다. 

 

다면체

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라 하고, 면의 갯수에 따라 면이 4개로 이루어진 입체도형을 사면체, 5개의 경우 오면체, 6개의 경우 육면체라고 부릅니다. 이때 다면체를 둘러싸고 있는 다각형을 다면체의 면, 다각형의 변을 다면체의 모서리, 다각형의 꼭짓점을 다면체의 꼭짓점이라고 합니다.

 

각기둥과 각뿔

사면체, 오면체, 육면체는 다면체를 면의 개수에 따라 분류한 것이고, 각기둥, 각뿔, 각뿔대는 다면체를 그 모양에 따라 분류한 것입니다.  각기둥은 위와 아래에 있는 면이 서로 평행이고 합동이며, 옆면이 사각형인 기둥 모양의 입체도형으로 바닥면의 모양을 기준으로 삼각기둥, 사각기둥 등, 바닥면의 모양이 N각형이라면, N각기둥으로 부릅니다. 

 

반면, 각뿔은 밑면의 각 변을 밑변으로 하고 밑변 밖에 있는 한 점을 꼭지점으로 하며, 옆면은 모두 삼각형으로 이루어진 입체 도형입니다.

 

그러면, 각기둥과 각뿔의 밑면의 모양과 면의 개수를 살펴볼까요?

각기둥은 밑면 모양만큼의 옆면이 있고, 윗면, 아랫면이 있습니다. 그러므로 삼각기둥의 경우 "옆면 3개+윗면+아랫면" 이렇게 해서 5개의 면을 가지고 있습니다. 일반화하면 N각기둥의 경우 "옆면 N개+윗면+아랫면" 으로 계산하여 "N+2"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

[ 각기둥의 면의 갯수 ]

	삼각기둥	사각기둥	오각기둥	N각기둥
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	N
총 면의 개수	5	6	7	N+2

 

각뿔은 밑면 모양만큼의 옆면이 있고, 아랫면만 있습니다. 그러므로 삼각뿔의 경우 "옆면 3개+아랫면" 이렇게 해서 4개의 면을 가지고 있습니다. 일반화하면 N각뿔의 경우 "옆면 N개+아랫면" 으로 계산하여 "N+1"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

[ 각뿔의 면의 갯수 ]

	삼각뿔	사각뿔	오각뿔	N각뿔
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	N
총 면의 개수	4	5	6	N+1

 

각뿔대

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 입체도형을 각뿔대라고 하고, 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대라고 합니다. 각뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면, 밑면이 아닌 면을 옆면이라고 부릅니다. 또 두 밑면에 수직인 선분의 길이를 각뿔대의 높이라고 정의합니다. 이때 각뿔대 의 옆면은 마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형이므로 모두 사다리꼴 형태가 됩니다.

각뿔대의 면의 개수는 옆면의 모양이 직사각형이 아니라 사다리꼴이 되었을 뿐, 각기둥의 면의 개수를 세는 방식과 동일합니다. 즉 밑면 모양만큼의 옆면 개수가 있고, 윗면과 아랫면이 있으므로 N각뿔의 경우 N+2개의 면을 갖습니다.

 

[규칙찾기] 조금 더 생각해볼까요?

각기둥, 각뿔, 각뿔대의 면, 꼭짓점, 모서리의 개수를 유추하여 규칙을 찾아 보도록 해주세요.

	N각기둥	N각뿔	N각뿔대
면의 개수	N+2	N+1	N+2
꼭지점의 개수	2N	N+1	2N
모서리의 개수	3N	2N	3N

 

 

[잘라보자] 조금 더 생각해볼까요?

각기둥, 각뿔, 각뿔대를 밑면에 수직으로 자르면 어떤 모양이 나올지 생각해 봅시다. 

각기둥은 어떤 각기둥이든지 밑면에 수직으로 자른 단면은 직사각형입니다. 

 

 

각뿔은 어떨까요?

각뿔을 밑면에 수직으로 자르면 삼각형 모양이 됩니다. 

 

 

각뿔대는 각뿔의 단면에서 위 부분이 없어졌다고 생각하면 됩니다. 그럼 어떤 도형이 될까요?

각뿔대를 밑면에 수직으로 자르면 사다리꼴이 만들어집니다. 

 

 

 

[퀴즈] 모서리가 15개인 입체도형은 어떤 것들이 있을까요?

위의 표에서 보면, 각뿔은 모서리의 갯수가 항상 바닥면의 2배가 되므로 짝수개의 모서리가 생깁니다. 대신 각기둥과 각뿔대는 윗면, 옆면, 아랫면에 동일한 갯수의 모서리가 생기므로 3*N = 15 를 생각해보면 됩니다. 즉, 오각기둥과 오각뿔대의 모서리가 15개입니다. 

 

 

[추가] 각기둥, 각뿔, 각뿔대 전개도 PDF 파일 첨부, 접어보게 하세요.   https://lucia.tistory.com/200

사각기둥, 사각뿔, 사각뿔대? 다 접어보지뭐~ (전개도 PDF 포함)

 

[ 추가 ] 뿔과 기둥의 부피 관계를 이해시키는 활동  https://lucia.tistory.com/129

접어보자! 뿔의 부피는 기둥의 1/3이라는데. 진짜?

 

[추가] 원기둥의 단면도 보고, 반찬도 만들어요.   https://lucia.tistory.com/132

[요리놀이] 애호박으로 원기둥의 단면 관찰하기