정다면체는 왜 5개만 있나요?

정다면체 알아보기

각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 입체도형을 정다면체라고 합니다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체, 이렇게 5개입니다. 간혹, 앞의 두가지 조건 중에서 한가지만을 생각하여 잘못 생각하는 경우가 있습니다. 특히 각 꼭지점에 모이는 면의 개수까지 같아야 한다는 점을 놓치는 경우가 많으니, 이 부분을 주의하게 해주세요.정다면체의 개수가 5개인 이유 역시 이 두번째 조건을 생각하면 됩니다. 

 

면이 정삼각형인 경우 : 정사면체, 정팔면체, 정이십면체

 

각 면이 정삼각형인 정다면체는 한 꼭짓점에 모인 면이 3개인 정사면체, 4개인 정팔면체, 5개인 정이십면체뿐입다. 다면체의 한 꼭짓점에 모이는 각의 크기의 합이 360도가 되면 평면이 되므로, 360도 보다 작아야 입체도형이 만들어집니다. 

 

 

면이 정사각형인 경우 : 정육면체	면이 정오각형인 경우 : 정십이면체

정사각형으로 이루어진 정육면체의 경우에도 정사각형 4개가 모이면 360도가 되므로 3개가 모이게 되는 정육면체 1가지만 존재합니다. 정오각형으로 이루어지는 정십이면체의 경우, 정오각형의 한 내각의 크기는 108도이고, 4개가 모이면 360도를 넘어가게 되므로, 3개의 면이 모이게 됩니다. 

 

각 면이 정육각형인 정다면체는 정육각형의 한 내각의 크기가 120도이므로 한 꼭짓점에 면이 3개 모이면 그 합이 360도가 되어 입체도형이 될 수 없습니다. 따라서 각 면의 변이 6개 이상인 정다각형으로는 정다면체를 만들 수 없기 때문에 정삼각형, 정사각형, 정오각형으로 만들어지는 5개의 정다각형만이 존재합니다.

 

 

	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체
면의 모양	정삼각형	정사각형	정삼각형	정오각형	정삼각형
한 꼭지점에 모인 면의 개수	3	3	4	3	5
면의 개수	4	6	8	12	20
꼭지점의 개수	4	8	6	20	12
모서리의 개수	6	12	12	30	30

 

 

[추가] 정다면체의 전개도가 필요하세요?

각 정다면체와 전개도입니다. 다면체의 전개도는 자르는 모서리에 따라 여러 모양으로 그릴 수 있습니다.(전개도 pdf가 필요하신 분은 https://lucia.tistory.com/11)

접으면서 배우는 정다면체 5가지 (전개도 PDF 첨부)

 

 

[추가] 정다면체에 이어 각기둥, 각뿔, 각뿔대까지 알려줘야 한다면

https://lucia.tistory.com/123

각기둥과 각뿔, 각뿔대? 이게 다 뭐지