[수학] 삼각비의 활용 : 원뿔의 전개도 그려보기(원뿔전개도PDF / 밑면 반지름과 빗변, 그리고 중심각)

입체도형을 다루며 회전체를 공부하게 됩니다. 

삼각형을 회전했을때 만들어지는 입체도형은 원뿔이 됩니다. 이때 원뿔의 전개도를 그려보거나, 입체로 만들어보고 싶어하는 경우가 있습니다. 

원뿔의 전개도를 그리기 위해서는 삼각비, 원주, 원주율, 부채꼴의 호의 길이 등을 활용해야 합니다. 

 

다음은 밑면과 높이의 비율을 달리한 직각삼각형을 도형의 오른쪽 끝을 축으로 회전하였을때 만들어지는 회전체의 모양을 보여줍니다. 그럼, 이때 만들어지는 회전체를 입체로 접어보기 위해서는 어떤 것들을 더 알아야 할까요?

 

 

위의 예시로 그려진 원뿔 중에서 밑변과 높이의 비율이 1:2인 직각삼각형을 예로 전개도를 그리기 위해 필요한 값들을 계산해보도록 하겠습니다. 

원뿔의 전개도는 바닥면의 원, 그리고 윗부분의 부채꼴로 이루어져 있습니다. 지금 알고 있는 값은 바닥면의 반지름과 원뿔의 높이값이므로, 부채꼴을 그리기 위해서는 부채꼴의 반지름, 그리고 부채꼴의 중심각을 구해야 합니다. 

 

우선 원뿔의 빗면, 즉 부채꼴의 반지름을 계산해보겠습니다.

다음과 같이 직각삼각형에서 밑변과 높이의 비율이 1:2이므로 tangent 값이 2인 각도를 찾아야합니다. 

(혹은 피타고라스의 정리를 활용해도 좋습니다.) 삼각비 표에서 tangent 값이 2인 각도는 63도와 64도 사이값입니다. 

계산 방법을 생각해보기 위한 예시로 2에 더 가까운 63도로 진행하려합니다. (계산기로는 63.44도 정도입니다.)

원뿔의 빗변과 밑변의 비율은 cos 값으로 알 수 있습니다. 

앞의 과정에서 두 변 사이의 각의 크기는 63도 이므로 cos63 값을 삼각비 표에서 찾아서 계산해보면 됩니다. 

cos63 = 0.4540 이므로, 빗변의 길이는 2.2026이 됩니다. 

 

 

원뿔을 이루는 부채꼴의 중심각을 알기 위해서는 부채꼴의 호의 길이와, 밑면의 원의 둘레가 같다는 원리를 활용합니다. 원의 둘레, 즉 [원주의 길이 =  2*원주율*반지름] 이므로 큰 원의 원주 중 부채꼴만큼의 호의 길이와 작은 원의 원주가 같다고 식을 세워 계산하면 됩니다. 

 

같은 방식으로 다양한 비율의 원뿔의 전개도를 계산해보세요. 

샘플로 작업한 원뿔의 전개도 파일과 삼각비 표 파일 첨부합니다. 

삼각비 표(인쇄용).pdf

0.05MB

원뿔 전개도(인쇄용).pdf

0.34MB

 

 

 

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