대각선 몇개냐구? 설마.. 세봤어? 대각선 개수 구하는 공식(방법) 쉽게 이해하기

초등 4학년 도형파트에

다각형의 대각선 개수 문제가 있습니다. 

문제를 풀다가 막히면,

대각선 개수 구하는 공식을 찾는 아이들이 있는데

어떻게 공식이 만들어졌는지를 생각해보면,

공식을 외우지 않더라도 해결할 수 있습니다. 

 

이해하고 문제를 풀다보니

저절로 외워진다면 더 좋지 않을까요?

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사각형부터 생각해볼께요.

대각선은 한자 그대로 풀어 해석하면 그 뜻을 알 수 있습니다. 즉, 對 (대할 대), 角 (뿔 각), 線 (줄 선)으로 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분을 말합니다. 

 

앞의 정의를 생각해보면 삼각형은 점이 3개라서, 한 점을 기준으로 하면 나머지 두 점은 모두 연결되어 있기 때문에 대각선을 그을 수가 없어요.

그래서 사각형부터 대각선을 만들 수 있습니다. 

 

아래 그림에서처럼 한 꼭지점을 기준으로 보면, 다른 점이 3개가 있고, 2개의 점은 이웃하고 있으니, 나머지 1개의 점으로 이어지는 대각선을 그을 수 있습니다.

사각형에서는 한 꼭지점에서 1개의 대각선을 그을 수 있고, 전부 4개의 꼭지점이 있으니 각각의 꼭지점에서 1개의 대각선을 그을 수 있습니다. 

 

그런데, 잘 살며보면 빨간 점선으로 표시한 대각선 2개, 그리고 파란 점선으로  표시한 대각선 2개는 같은 대각선입니다.

2개의 점을 이어 만들어지는 대각선이므로, 2개씩 중복하여 생깁니다. 

사각형에서의 대각선

 

 

오각형도 볼까요?

사각형에서 한단계 더 올려 오각형을 보겠습니다.

오각형은 꼭지점이 5개이므로, 1개의 꼭지점을 기준으로 보면 4개의 점이 있고, 2개의 점은 이웃하고 있으니, 나머지 2개의 점으로 대각선을 그을 수 있습니다. 

 

한 꼭지점에서 2개의 대각선을 그을 수 있고, 꼭지점은 모두 5개가 있습니다.

앞의 사각형에서와 같이 대각선은 모두 2개씩 중복되어 만들어집니다. 

 

오각형에서의 대각선

 

N각형으로 확장해서 생각해봐요

(1) 1개의 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 몇개일까?

N각형에서 1개의 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선은 N개의 꼭지점에서 기준이되는 1개의 점, 그리고 그 점와 이웃하고 있는 2개의 점으로는 대각선을 그을 수 없으므로 N-3개가 됩니다. 

 

(2) N-3개의 대각선을 만들 수 있는 꼭지점의 수

한개의 꼭지점마다 N-3개의 대각선을 만들 수 있고, N각형에는 N개의 꼭지점이 있으므로 (N-3)*N개를 그릴 수 있습니다. 그런데, 이 개수는 한개의 대각선에 대해서 2번씩 중복되어 나온 값입니다. 

 

(3) 중복되어 계산된 값 정리

대각선은 양쪽 끝 두개의 점으로 만들어져 있어서, 모두 2번씩 세어졌으므로 2로 나눠줘야 합니다. 

 

 

 

공식에 맞춰 다시 계산해볼까요?

사각형의 대각선 개수

N=4이므로,

(4-3) * 4 * 0.5 = 2

 

오각형의 대각선 개수

N=5이므로, 

(5-3) * 5 * 0.5 = 5

 

이 정도까지는 그려서 세보면 되겠지요? 그럼 십이각형의 대각선 개수?

십이각형은 N=12이므로, 다음과 같이 계산하면 54개입니다. 

(12-3) * 12 * 0.5 = 54

 

 

공식이 생각이 안나요 ㅠㅠ

공식이 있었던 것 같은데, 생각이 안난다면 지금 살펴본 것과 같이 사각형, 오각형과 같이 쉬운 다각형으로부터 공식을 유추해보고 문제를 풀 수 있습니다. 

너무 공식을 외우려고 애쓰지 않아도 됩니다. 다만, 외우고 있다면 훨씬 빨리 해결할 수는 있습니다. 

 

 

 

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