[수학] 밑면 반지름 r일 경우, 원뿔 전개도 그리기, 원뿔 높이 구하기

다른 다면체 전개도보다

원뿔의 전개도를 직접 그리는 것을

어려워하는 아이들이 많습니다. 

직접 계산해야하는 부분이 있지만, 

원을 공부했으면 도전해볼 수 있게 해주세요 

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원뿔의 전개도를 그리기 위해서는 밑면의 반지름 r, 전개도상 부채꼴의 반지름 R, 그리고 부채꼴의 중심각 크기가 필요합니다.  전개도상 부채꼴의 반지름 R은 원뿔 입체에서는 모선이라고 부릅니다. 

 

아래의 원뿔의 전개도를 살펴보면 밑면의 원둘레인 초록색 선과 부채꼴의 빨간색 호의 길이가 같아야 합니다. 밑면의 반지름과 부채꼴의 반지름을 지정하고 부채꼴의 각을 구하거나, 원뿔 밑면의 반지름(혹은 지름)과 원뿔의 높이를 알려주고 부채꼴의 반지름(모선)을 구하는 등의 문제가 나오기도 합니다. 

 

 

밑면의 반지름과 부채꼴의 반지름을 지정하고 부채꼴의 각을 구해보자.

밑면의 반지름 r, 전개도상 부채꼴의 반지름 R, 그리고 부채꼴의 중심각 크기를 a라고 표시하였습니다. 

 

밑면의 원둘레인 초록색 선은 반지름 r인 원주 길이입니다.

• 원주 =  2*반지름*원주율

 

부채꼴의 빨간색 호의 길이인 빨간색 선은 반지름 R인 원주 길이에 전체각도 360도 중, 중심각 a가 차지하는 비율을 곱해주면 됩니다. 

• 부채꼴의 호의 길이 =  원주*(각도/360) = (2*반지름*원주율)*(각도/360)

 

위의 개념을 바탕으로 식을 정리하면 다음과 같습니다. 

3번째 줄의 중심각 a에 대해서 정리된 식을 보면, a = 360*(r/R)로 되어 있습니다. 부채꼴의 중심각이 360도 이상이 될 수는 없으므로, r/R은 1보다 작습니다. r/R 값이 1에 가까워질수록 원뿔은 납작한 모양이 되겠지요.

 

 

 

원뿔 밑면의 반지름과 부채꼴의 반지름(모선)을 알때, 만들어지는 원뿔의 높이를 구해보자

밑면의 반지름 r, 전개도상 부채꼴의 반지름 R, 그리고 부채꼴의 중심각 크기를 a, 원뿔 단면에서 만들어지는 직각삼각형의 한 각을 b라고 표시하였습니다.

피타고라스의 정리를 사용하는 방법과 삼각비를 사용하는 방법이 있습니다. 

 

 

피타고라스의 정리

직각삼각형의 빗변의 길이 제곱은 나머지 두변의 제곱 합과 같다는 공식을 활용하여 정리합니다. 빗변이 R, 나머지 두변이 r과 h이므로 다음과 같이 정리됩니다. 

 

 

삼각비의 활용

삼각비의 활용은 30도, 45도, 60도와 같은 특수각일 경우 쉽게 찾을 수 있으나(암기 하고 있을꺼예요), 그렇지 않은 경우 삼각비표에서 값을 찾아서 해결해야합니다. 

값을 알고 있는 r과 R의 비율인 코사인값을 구해서 삼각비 표에서 찾아 b값을 구합니다. 

각 b의 크기를 알게 되면 각 b의 사인값을 삼각비 표에서 찾아줍니다.

각 b의 사인값은 R과 h의 비율이므로, h값을 구할 수 있습니다. 

 

 

 

 

[추가] 삼각비표와 삼각비표를 활용한 계산들의 예시는 전에 썼던 링크 첨부합니다. 

 

https://lucia.tistory.com/51

삼각비 표(0도~180도)를 만들어봤어요.

 

https://lucia.tistory.com/72

[삼각비] 클리노미터(경사계) 만들고, 사물 높이 재기

 

https://lucia.tistory.com/286

[수학] 삼각비의 활용 : 원뿔의 전개도 그려보기(원뿔전개도PDF / 밑면 반지름과 빗변, 그리고 중

 

 

 

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