평면도형에서 입체도형까지 : 다각형, 각기둥, 각뿔, 각뿔대 feat.꼭지점, 모서리, 면 개수 알아보기

 

오늘은 평면도형에서 입체도형까지 함께 살펴보려 합니다. 

도형과 관련된 글을 이전에도 많이 썼는데, 생각보다 "삼각뿔의 모서리 개수", "오각뿔대 면 개수", "육각기둥 옆면 모양" 등의 검색이 많습니다. 

 

위의 그림을 살펴보고,  "삼각뿔의 모서리 개수",  "오각기둥의 모서리 개수"와 같은 문제를 해결해야할때 어떻게 생긴 형태였는지를 떠올리면 암기하지 않아도 되지 않을까요?

 

 

각기둥

각기둥은 위와 아래에 있는 면이 서로 평행이고 합동이며, 옆면이 사각형인 기둥 모양의 입체도형으로 바닥면의 모양을 기준으로 삼각기둥, 사각기둥 등, 바닥면의 모양이 N각형이라면, N각기둥으로 부릅니다.

 

각기둥과 다면체는 입체도형을 어떤 기준으로 부르냐로 생각하면 됩니다.

각기둥은 앞의 정의에서와 같고, 다면체는 그 입체도형이 면을 몇개 가지고 있느냐로 구분합니다.

그래서 육각기둥은 팔면체이지만, 팔면체가 육각기둥은 아닙니다.

8개의 면을 가진 입체도형은 육각기둥 외에도 육각뿔대, 칠각뿔, 정팔면체도 있습니다. 

 

각기둥의 밑면의 모양과 면의 개수를 살펴볼까요?

각기둥은 밑면 모양만큼의 옆면이 있고, 윗면, 아랫면이 있습니다. 그러므로 삼각기둥의 경우 "옆면 3개+윗면+아랫면" 이렇게 해서 5개의 면을 가지고 있습니다.

일반화하면 N각기둥의 경우 "옆면 N개+윗면+아랫면" 으로 계산하여 "N+2"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

각기둥의 면의 갯수 생각해보기

 

 

모서리의 개수도 면의 개수처럼 나눠서 생각해봅니다. 

제일 간단한 삼각기둥으로 살펴보면 위면에 3개의 모서리, 옆면에 3개의 모서리, 밑면에 또 3개의 모서리가 있습니다.

3개의 모서리가 각각 위면, 옆면, 밑면에서 나오므로 3*3으로 9개가 됩니다. 

N각기둥으로 확장해서 생각해보면 위면에 N개의 모서리, 옆면에 N개의 모서리, 밑면에 또 N개의 모서리가 있게 됩니다. 이 경우 3*N이 됩니다. 

각기둥의 모서리 개수 생각해보기

 

 

각기둥의 꼭지점 개수는 밑면 모양 다각형의 꼭지점 개수가 위에도 있고, 아래에도 있습니다.

삼각기둥의 경우 삼각형의 꼭지점 개수인 3이 위, 아래 2번이므로 6개입니다. 

N각기둥의 경우, 밑면의 모양이 N각형이므로 꼭지점은 위면에 N개, 밑면에 N개로 총 2*N개가 됩니다. 

 

각기둥의 꼭지점 개수 생각해보기

 

각기둥을 밑면에 수직으로 자르면 어떤 모양이 나올지 생각해 봅시다. 

각기둥은 어떤 각기둥이든지 밑면에 수직으로 자른 단면은 직사각형입니다.

밑면과 수평으로 자르면?  각기둥을 수평으로 잘랐을때의 단면은 밑면의 모양과 같습니다. 

 

각기둥을 세로로 잘랐을때 단면

 

 

이 내용을 정리해서 표로 만들어보면 다음과 같습니다. 

외우려 하지말고, 머리속에 도형의 모양을 기억해보세요.

십이각기둥, 십팔각기둥이라고 해도 어렵게 생각하지 말고 삼각기둥을 먼저 생각해보고, 십이각기둥이라면, 십팔각기둥이라면... 하고 유추하면 됩니다. 

 

[ 각기둥의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각기둥	사각기둥	오각기둥	육각기둥	N각기둥
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	5	6	7	8	N+2
모서리의 개수	9	12	15	18	3N
꼭지점의 개수	6	8	10	12	2N

 

 

각뿔

각뿔은 밑면의 각 변을 밑변으로 하고 밑변 밖에 있는 한 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 원래의 밑면으로 둘러싸인 입체 도형입니다. 각뿔의 옆면은 모두 삼각형이고, 밑면 밖에 있는 한 점을 각뿔의 꼭짓점이라 부릅니다. 

 

각뿔은 밑면 모양의 모서리 개수 만큼의 옆면이 있고, 밑면만 있습니다. 그러므로 삼각뿔의 경우 "옆면 3개+아랫면" 이렇게 해서 4개의 면을 가지고 있습니다.

일반화하면 N각뿔의 경우 "옆면 N개+아랫면" 으로 계산하여 "N+1"개의 면을 갖게 됩니다. 

 

각뿔의 면의 개수 생각해보기

 

모서리의 개수도 면의 개수처럼 나눠서 생각해봅니다.

제일 간단한 삼각뿔로 살펴보면 옆면에 3개의 모서리, 밑면에 또 3개의 모서리가 있습니다.

3개의 모서리가 옆면과 밑면에서 나오므로 3*2로 6개가 됩니다. 

N각뿔로 확장해서 생각해보면 옆면에 N개의 모서리, 밑면에 또 N개의 모서리가 있게 됩니다. 이 경우 2*N이 됩니다. 

 

각뿔의 모서리의 개수 생각해보기

 

 

각뿔의 꼭지점 개수는 밑면 모양 다각형의 꼭지점 개수와 밑면 밖에 있는 꼭지점 1개가 더 있습니다.

삼각뿔이라면 밑면에 3개, 밑면 밖에 1개, 총 4개가 됩니다. 

N각뿔의 경우, 밑면의 모양이 N각형이므로 꼭지점은 밑면에 N개, 밑면 밖에 1개로 총 ( N+1 )개가 됩니다. 

 

 

각뿔도 잘라볼까요? 

각뿔을 밑면에 수직으로 자르면 삼각형 모양이 됩니다. 

 

각뿔을 세로로 잘랐을때 단면

 

 

[ 각뿔의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각뿔	사각뿔	오각뿔	육각뿔	N각뿔
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	4	5	6	7	N+1
모서리의 개수	6	8	10	12	2N
꼭지점의 개수	4	5	6	7	N+1

 

 

각뿔대

각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 입체도형을 각뿔대라고 하고, 밑면의 모양에 따라 삼각뿔대, 사각뿔대, 오각뿔대라고 합니다.

각뿔대에서 서로 평행한 두 면을 밑면, 밑면이 아닌 면을 옆면이라고 부릅니다. 또 두 밑면에 수직인 선분의 길이를 각뿔대의 높이라고 정의합니다.

이때 각뿔대 의 옆면은 마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형이므로 모두 사다리꼴 형태가 됩니다.

 

 

 

각뿔대의 면, 모서리, 꼭지점의 개수는 각기둥과 동일합니다.

각뿔대는 각뿔에서 위부분 각뿔을 잘라내고 남은 아래부분이지만, 각기둥에서 위면과 아래면의 크기가 다른 경우로 생각할 수도 있습니다. 각기둥의 옆면의 모양은 직사각형이지만, 각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이 됩니다.

 

각기둥의 면의 개수를 세는 방식과 동일합니다.

즉 밑면 모양만큼의 옆면 개수가 있고, 윗면과 아랫면이 있으므로 N각뿔의 경우 N+2개의 면을 갖습니다.

 

각기둥과 각뿔의 차이 "옆면 모양을 보세요"

 

 

각뿔대를 자른 단면은 각뿔의 단면에서 위 부분이 없어졌다고 생각하면 됩니다. 그럼 어떤 도형이 될까요?

각뿔대를 밑면에 수직으로 자르면 사다리꼴이 만들어집니다. 

 

각뿔대를 세로로 잘랐을때 단면

 

 

[ 각뿔대의 꼭지점, 모서리, 면의 갯수 ]

	삼각뿔대	사각뿔대	오각뿔대	육각뿔대	N각뿔대
밑면 모양	삼각형	사각형	오각형	육각형	N각형
옆면 개수	3	4	5	6	N
총 면의 개수	5	6	7	8	N+2
모서리의 개수	9	12	15	18	3N
꼭지점의 개수	6	8	10	12	2N

 

 

 

설명이 필요할까요? 동영상도 만들어봤어요^^   https://youtu.be/Sm3RZafYr74

 

 

 

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